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海淀数学名师告诉染色问题基本解法
发布时间:2021-07-01 浏览4926次

染色问题基本解法:

三面涂色和顶点有关8个顶点。

两面染色和棱长有关。即新棱长(棱长2)×12

一面染色和表面积有关。同样用新棱长计算表面积公式(棱长2)×(棱长2)×6

0面染色和体积有关。用新棱长计算体积公式(棱长2)×(棱长2)×(棱长2)

长方体的解法和立方体同理,即计算各种公式前长、宽、高都要先减2再利用公式计算。

容斥原理:

在计数时,必须注意无一重复,无一遗漏。为了使重叠部分不被重复计算,人们研究出一种新的计数方法,这种方法的基本思想是:先不考虑重叠的情况,把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来,然后再把计数时重复计算的数目排斥出去,使得计算的结果既无遗漏又无重复,这种计数的方法称为容斥原理。

(1)如果被计数的事物有A、B两类,那么,A类或B类元素个数=A类元素个数B类元素个数(既是A类又是B类的元素个数)。

(2)如果被计数的事物有A、B、C三类,那么,A类或B类或C类元素个数=A类元素个数B类元素个数C类元素个数既是A类又是B类的元素个数(既是A类又是C类的元素个数既是B类又是C类的元素个数既是A类又是B类而且是C类的元素个数)。

容斥与染色问题例题:

1.某班有40人,其中有33人会中国象棋,28人会国际象棋,36人会围棋。这个班至少有多少人三种都会?

解:∵总人数为40,其中有33人会中国象棋,28人会国际象棋,36人会围棋。∴有8人不会中国象棋,12人不会国际象棋,4人不会为其,共计24人。

∴有4024=16人什么都会。

2.某班有46人,其中有40人会骑车,38人会打乒乓球,35人会打羽毛球,27人会游泳,则这个班至少有多少入以上四项运动都会?

解:一共46人,有40人会骑车,所以就有4640=6(人)不会骑车,同理有4638=8(人)不会打乒乓球,有4635=11(人)不会打羽毛球,有4627=19(人)不会游泳。假设这个班每个人最多只有一项不会,此时四项都会的人最少。即有681119=44(人)不是4项运动都会。而4项都会的人是:4644=2(人)

答:这个班至少有2人以上四项运动都会。

3.一批商品,每件是1×2×8的长方体,现在有一批现成的木箱,尺寸是12×12×12,试问,能不能用这样的商品将木箱装满?

解:不能,因为12除不尽8。

4.有六个点a.b.c.d.e.f,其中没有任何三点在同一条直线上,在每两点间用线段连接,如果这些线段中每一段或者涂上白色或者涂上黑色,证明至少有一个三角形的三边是同样颜色

证明:从a看,它连接的五条线至少有三条同X(可能黑,可能白)色,这三条连着的三个点(假设是b.c.d,其实是等价的)中共有三条连线,若有一条为X色(假设端点b.c),则有同色三角a.b.c,若都不是X色,则有同色三角b.c.d。

5.8×8的国际象棋棋盘能不能被剪成7个2×2的正方形和9个4×1的长方形?如果可以,请给出一种剪法;如果不行,请说明理由。

解:如下图,对8×8的棋盘染色,则每一个4×1的长方形能盖住2白2黑小方格,每一个2×2的正方形能盖住1白3黑或3白1黑小方格。推知7个正方形盖住的黑格总数是一个奇数,但图中的黑格数为32,是一个偶数,故这种剪法是不存在的。 

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